Barrett Reduction#
Barrett Reduction是一种在计算模运算（求余数）时使用的优化算法，可以避免昂贵的除法运算。它的基本思想相当直接。
当要计算 \(a \bmod N\)（a 模 N）的余数 r 时，常规做法是首先计算商 \(q = a \div N\)，然后计算余数 \(r = a - q \times N\)。
然而，计算 q 时需要一次除法，而除法对 CPU 的运算开销比较大。Barrett Reduction 通过引入一个预计算的常数来避免这个除法运算。
算法核心思想#
选择一个足够大的 \(R = 2^k\)，使得 \(R > N\)。
预计算 \(\mu = \lfloor R / N \rfloor\)。（\(\lfloor \rfloor\) 表示向下取整）
当需要计算 \(a \bmod N\) 时，用以下步骤代替：
计算 \(q = \lfloor(a \times \mu) / R\rfloor\)
计算 \(r = a - q \times N\)
如果 \(r \geq N\)，则 \(r = r - N\)
这里的关键优化是，由于 R 是 2 的幂，\((a \times \mu) / R\) 可以通过简单的位移操作实现：\(q = (a \times \mu) \gg k\)。
对于一个固定的有限域，N 通常是固定的，那么 \(\mu\) 也是固定的，可以预先计算并存储。
误差分析#
这种方法可能会导致 q 略小于实际的商，因为 \(\mu\) 是 \(R/N\) 的下界（由于向下取整）。这就是为什么我们需要在计算 \(r = a - q \times N\) 后，判断 r 是否小于 N，如果大于或等于 N 则需要再减去 N。
关于最差情况下需要减去 N 的次数：
误差的上界可以被证明是 2。也就是说，计算出的 r 最多比实际的余数大 2N。
因此，最多需要减去 N 两次就可以得到正确的余数。
算法优势#
避免了昂贵的除法运算，替换为乘法和位移操作。
对于固定的模数 N，\(\mu\) 可以预计算，进一步提高效率。
即使在最坏情况下，也只需要进行有限次（最多两次）的额外减法。
计算μ的误差范围#
我们设 \(q'\) 为实际的 \(a/N\) 值，q 为经过 Barrett Reduction 的值 \(q' = \lfloor a / N \rfloor\)，\(q = \lfloor(a \times \mu) / R\rfloor\)
\(R = 2^k\)，其中 k 是一个整数，且 \(R > N\)。
\(\mu = \lfloor R / N \rfloor\)
假设 \(a < R\)（这是一个重要的假设，在实际应用中通常成立）
上界：\(q \leq q'\)#
我们知道 \(\mu = \lfloor R / N \rfloor\)，所以 \(\mu \leq R / N\)。
所以 \(q \leq q'\)
下界：\(q > q' - 2\)#
首先，我们知道 \(R/N - 1 < \mu \leq R/N\) （因为 \(\mu\) 是 \(R/N\) 的向下取整） 所以：
接下来，我们可以写出： \(q > a/N - a/R - 1\) （因为对任何 x，\(\lfloor x \rfloor > x - 1\)）
现在，利用假设 \(a < R\)，我们有 \(a/R < 1\)，所以：
但是 \(q' = \lfloor a/N \rfloor\)，所以 \(a/N - 1 < q' \leq a/N\) 将这个不等式代入上面的式子： \(q > (q' - 1) - 2 = q' - 3\)
因为 q 是整数，所以 \(q \geq q' - 2\)
结合之前得到的 \(q \leq q'\)，我们可以得出 \(q' - 2 < q \leq q'\)